Matematički Zadatak-samo za znalce

Koliko sam skuzio tu se radi o obicnom skupu jednadžbi. Imas 3 jednadžbe i 4 nepoznanice tako da se to neda rijesiti.

Da cujemo druge sta misle =P.

Ma da se i to riješiti, Gaussovo metodom ako se ne varam. Matrice i to... :D

3 jednadžbe s 4 nepoznanice uvijek se daju riješiti, čak štoviše, imaju beskonačno rješenja.

Ako gledamo jednadžbekoje je Rambo postavio:

(A*3)+B = (D*2)

(A*2) = C

B = D

pa se malo igramo i radimo razne supstitucije (sa ciljem da sve nepoznanice izrazimo preko jedne)

3A=2D-B=2D-D=D -> A=D/3

C=2A=2D/3

B=D

Kako D nismo odrediti i može biti proizvoljan možemo uzeti E=3*D i tako će sve nepoznanice biti prirodne (to je ekvivalentno da biramo D prirodan i djeljiv s 3)

konačno rješenje:

(A,B,C,D)=(E, 3E, 2E , 3E) za E prirodan broj (bilo koji)

Inače, ono što je postavljeno je problem zapisivanja nul-vektora kao linaernu kombinaciju drugih i to je tipičan primjer iz linearne algebre. Ako ovo tvoje drugačije zapišemo:

A*{3,2,0}+B*{ 1,0,1}-C*{0,1,0}-D*{2,0,1}={0,0,0}

s time da bi se umjesto {} trebalo pisati ().

Da bi ovo gore imalo jedinstveno ne-nul rješenje (primjeti da je A=B=C=D=0 uvijek rješenje) treba biti maximalno 3 vektora koja se zbrajaju (ovih u {}). Sve više od 3 će sigurno dati beskonačno rješenja.

Ako vektora ima 3 ili manje, a rješenje je jedinstveno onda kažemo da su ti vektori linearno nezavisni, inače su linearno zavisni. Ti pojmovi su inače ključni kad govorimo o vektorskim prostorima.

Mislim da se u sustavu jednadžbi može riješiti jednadžba s proizvoljno mnogo nepoznanica.

sustav jednadžbi

x+y=3

x+y=7

nema rješenja

Isto tako mnoge nelinearne nemaju rješenja. npr x²+x+142=0

Vidio sam na nekom topicu da si 7.r osnovne ili tako nešt, jel? Bez brige, vektori će doći u školi :D

Ove operacije koje si opisao su operacije zbrajanja vektora (po komponentama) i množenja brojem (pomnoži svaku komponentu s tim). Te operacije skupa sa skupom vektora čine vektorski prostor.

U ovom slučaju taj vektorski prostor svi znamo kao R³ odnosno prostor u kojemu i sami živimo. Svaki vektor u tom prostoru izgleda (a,b,c) gdje su mu a,b,c komponente.

Tak prostor ima dimenziju 3 (očito, jel) što znači da postoji skup koji se sastoji od 3 vektora koji čine BAZU. Baza ima beskonačno mnogo, no ona najjednostavnija je kanonska i čine ju vektori (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1).

Za bazu vrijedi da se svaki vektor iz prostora može na JEDINSTVEN način prikazati kao linearna kombinacija vektora baze. npr:

(2,1,3)=2*(1,0,0)+1*(0,1,0)+3*(0,0,1).

Vrlo je bitan pojam LINEARNE NEZAVISNOSTI skupa, i baza je MAXIMALNI linearni nezavisni skup u prostoru.

Za vektore kažemo da su linearno nezavisni ako se nul vektor (0,0,0) može napisati samo kao linearna kombinacija danih vektora sa nulama

npr

(0,0,0)=0*(1,0,0)+0*(0,1,0) i nikako drugačije pa je skup { (1,0,0), (0,1,0) } linearno nezavisan.

ako gledamo vektore (1,1,1) i (2,2,2) oni su očito zavisni, a to se vidi iz:

(0,0,0)=1*(2,2,2)-2*(1,1,1)

Pitaš se kakve to ima veze s tvojim zadatkom?

Vrijedi da je baza najveći linearno nezavisan skup. Kako u bazi imamo 3 vektora, sve više od toga biti će linearno zavisno i moći ćemo naći one koeficijente. U tvom zadatku imamo 4 vektora koji će činiti linearno zavisan skup i samim time će tvoj zadatak imati ne-nul rješenje.

A što se tiče najmanjeg rješenja, to je baš kad uzmeš E=0. Iduće bi bilo E=1 kako gledaš samo prirodne brojeve.

Kao prvo, ovo nije zaključivanje nikakvom indukcijom. To je osnovna teorija Cramerovih sustava koja se radi na 1. godini studija matematike. Mogo bi ja još štošta pisati o skupu rješenja, kako ih dobiti sve i zakomplicirati još više.

Tvoj primjer "sustava jednadžbi" je bezvezan. Zna se jako dobro što je sustav i kakva je njegova struktura, a taj tvoj primjer nema ništa od toga. Usput rečeno, sustavi koji imaju jedinstveno rješenje su veća iznimka od onih drugih (koji nemaju ili koji imaju beskonačno) ako ćemo baš bit picajzle ;-)

Što se tiče rješenja u skupu komplexnih brojeva, slažem se, ima ih točno dva. Dao sam taj primjer kao primjer nelinearne jednadžbe koja rješenja u skupu R nema.

Čovjek je tražio objašnjenje, očito ga matematika zanima i ja sam mu dao iscrpan odgovor trudeći se čim manje kopat po teoriji.

p.s. Nemoj sa mnom oko matematike ;-)

Inače postoje dvije metode dokazivanja tvrdnji u matematici.

1) tvrdnja je točna pa ju dokažeš

2) nađeš kontraprimjer i time tvrdnju baciš u koš za smeće

Ja sam za tvoju tvrdnju iskoristio metodu 2, koja je zapravo jedna od najčešće korištenih metoda. Da si išta dokazao u životu, znao bi to.

Velika većina teorema se dokazuje na način - pretpostavimo suprotno, pa nađimo kontraprimjer koji će nas dovesti do kontradikcije.

Ja sam svjestan da sam zakomplicirao priču, no to sam učio prvenstveno jer autora zanima matematika. Koliko sam vidio u nekoj od tema na forum, autor je pokazao interes za matematiku i programiranje, a takvi ljudi uvijek žele nešto malo više od običnog rješenja. Takvi ljudi se uvijek pitaju - a zašto? Vrijedi li nešto slično i općenito? Da se to ne pita, ne bi ovakav zadatak niti pitao.

Moj ego će teško povrijediti netko sa znanjem manjim od mene, pogotovo kad je u krivu.

sustav jednadžbi

x = 1+2

x = 2+3

nema rješenja.

Dakle, prema tvome, sustav jednadžbi s jednom nepoznanicom nema rješenja? Da ne bi bilo da sad nešto izvlačim iz konteksta ti si to isto napisao u prijašnjem postu, samo za sustav jednadžbi s dvije nepoznanice:

Sad da te pitam (kao iskusnijeg i pametnijeg - bez sarkazma), je li ovo tvoje bio valjan kontraprimjer kojim pobijaš moju tvrdnju?

Mogu ti reći jedino da si krivo protumačio moju tvrdnju. Ono što sam ja htio reći je da se i sustavi jednadžbi s više nepoznanica mogu riješiti, pobijajući AA-d00d-ovu tvrdnju da se sustav triju jednadžbi s 4 nepoznanice ne može riješiti.

Ono što me smeta je što umanjuješ vrijednost mog rješenja, iako si ti istim načinom došao do rješenja kao i ja. Da se nisi raspričao o vektorima, tvoj i moj postupak bi bio identičan  ;)

P.S. - sad cjepidlačim, ali sustav jednadžbi može imati i više rješenja (kvadratna, kubna...).

A onda se nismo skužili za ovu tvrdnju :D

A nisam ja rekao da je tvoje rješenje loše, za nekog tko želi čisto rješenje bez dodatnih pitanja je i bolje od mog pošto sam ja dao i neki uvid u općenitiji slučaj i objasnio zašto neke stvari vrijede i kako ih odmah vidjeti.

A dobro kaže domagoj, pa ću svoju tvrdnju napisat skroz precizno:

"Linearni sustav jednadžbi uvijek ima jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rješenja"

O bilo čemu nelinearnom nema smisla raspravljat jer su metode potpuno drugačije i niš od ovog kaj vrijedi za linearne sustave ne vrijedi.

To nije linearni sustav :D

sustav - imamo više jednadžbi

linearni - u svakoj jednadžbi se nepoznanice pojavljuju linearno, dakle svaka jednadžba je oblika

a₁x₁ + a₂x₂ +... = b

gdje su x-evi nepoznanice, a a-ovi i b-ovi brojevi (konstante).

btw ja za mjesec dana završavam PMF Matematiku ;-)

@AA-d00d - može se i x+y=1 zapisat kao

e^lnx + integral (od 0 do y) (1 dt) = 1 pa je jednadžba svejedno linearna :D

Dečki stvarno ste super, Hvala Vam puno. Koji je to osječaj dok u tvojoj temi se valjda "največi mozgovi"matematike ovog foruma sukobljavaju. Inače porijeklo tog zadakta je iz izjednačavanja kemijskih formula. Jer neke stu stvarno zaribane a sistem "pokušaj-pogreška" nije dobar pa sam probao pronaći matematičku formulu da to rješim. (Skupovi su spojevi u reakciji, a brojevi broj atoma u tom spoju, baš u onom primjeru je bilo (O, Fe, C) Pa je rješenja jednadžba glasila. 2C₂H₂+5O₂=4CO₂+2H₂O.  Hvala puno!

Prikladna

e^lnx + ₀∫^y dt = -e^i*π

Najjača formula! Povezuje najvažnije "brojeve" u jedan izraz