Jel bi znao netko riješit zadatak?
Ako je A x B = 8i -14j + k
A + B = 5i + 3j + 2k
Nađi A i B.
A i B napišeš po komponentama,
A=a1i+a2j+a3k
B=b1i+b2j+b3k
i onda uvrstiš gore.
npr druga jednadžba daje
a1i+a2j+a3k+b1i+b2j+b3k=5i+3j+2k
odakle slijedi (izjednačavanjem komponenata uz i,j,k):
a1+b1=5
a2+b2=3
a3+b3=2
Slično napraviš za onaj vektorski produkt u prvoj jednadžbi, dobiješ još 3 jednadžbe sa 6 nepoznanica, to je ukupno 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica koji onda riješiš.
Došao sam i ja do toga ali dalje ne ide.... :(
Jesi našao jednadžbe koje dobiješ iz one prve ?
Tu bi trebalo bit 6 jako jednostavnih jednadžbi sa 6 nepoznanica.
Iz ove 3 koje sam ja piso možeš eliminirat 3, npr:
b1=5-a1
b2=3-a2
b3=2-a3
pa to uvrstiš u one 3 koje dobiješ. Pa imaš 3 jedn s 3 nepoznanice. Opet iz jedne jedn izraziš jednu nepoznanicu, i uvrstiš u preostale dvije. I onda dobiješ 2 jedn s 2 nepoznanice što bi stvarno trebalo bit lagano za riješit :D
Stvar je u tome da se ne može tako riješit....
Kada god izdvojim jednu nepoznanicu i uvrstim u sljedeću jednadžbu dobijem na kraju ja jednadžbu sa jednom nepoznanicom ali se one ponište međusobno (npr. dobijem 5b1-5b1-17=1)....
Nije tako jednostavno kako misliš da je...
Ako je stvarno tako, i siguran si da nisi nigdje pogriješio, onda takva 2 vektora ne postoje, tj nema rješenje. Problem koji je sličan tome je npr:
nađi 2 realna broja x i y takva da su
x+y=5 i
x+y=7.
Taj sustav nema rješenja.
Ovako, išo sam i ja sad rješavat i nisam dobio kao ti.
Moguće da sam i ja fulao, ali nakon sređivanja i uvrštvanja umjesto b-ova ono što sam gore napisao dobio sam ovo:
2a2-3a3=8
2a1-5a3=14
3a1-5a2=1
izrazio sam a1 iz zadnje jednadže i kada sam ubacio u prve dvije i pokušao dobiti a2 i a3, dobio sam 0=0. To je ispravan izraz, pa će ovaj sustav imat beskonačno rješenja, tj. sva rješenje će biti napisana pomoću nekog parametra.
Da ne pišem kaj to znači na vom primjeru jer ima puno nepoznanica, ajmo na jednostavnijem, npr:
x+y=5
2x+2y=10.
Rješavanjem ovog sustava dobije se 0=0, dakle sustav ima beskonačno rješenja. Prva jednadžba nam kaže da je y=5-x pa su sva rješenja (x,y) oblika (t,5-t) za svaki realan broj t. Možeš i provjerit da je to stvarno istina.
A gledaj....riješenje ima sigurno....
To je inače zadatak iz Spiegelove Teorijske mehanike (ili u originalu "Theory and Problems of Theoretical Mechanics")
A riješenje je A=2i+j-2k, B=3i+2j+4k
E sad je problem kako doći do toga....
Ok, ajmo po redu iz početka :D
Imamo da je
A x B = 8i -14j + k
A + B = 5i + 3j + 2k
uzmimo A=a1i+a2j+a3k , b= b1i+b2j+b3k
druga jednadžba nam daje :
a1+b1=5 -> b1=5-a1
a2+b2=3 -> b2=3-a2
a3+b3=2 -> b3=2-a3
prva jednadžba, nakon raspisa vektorskog produkta i uvrštavanja ovog gore umjesto b1,b2,b3 daje :
2a2-3a3=8
2a1-5a3=14
3a1-5a2=1
Sad je problem što je prva jednadžba*(-5)+druga jednadžba*3 = treća jednadžba, pa ćemo bilo kakvom supstitucijom dobit 0=0, tj sve će se pokratit i dobit će se rješenje koje ovisi o parametru, tj beskonačno rješenja.
Sva rješenja za A izgledaju:
a1=(14+5t)/2
a2=(8+3t)/2
a3=t
Tvoje rješenje koje si zapisao gore se dobije za t=-2.
Slično se mogu zapisat i komponente od B.
Dakle, zadatak ima beskonačno mnogo rješenja, ovisno o parametru t.
