Atomski satovi traže kozmičke strune

Priznajem, tekst koji me dobro oznojio.

3-4 puta sam citao i a zatim nakon toga i guglao. Tek sada mislim da pocinjem "hvatati konce" (pun intended )

U svakom slucaju, nesto novo sam naucio!

može emisija ali s nekoliko tema. ovako čovjek dobro i zgodno pojašnjava ali (pre)rijetko. a mogao bi on odgovoriti i na koje pitanje, recimo. eo, mene kao papka zanima zakaj je u einsteinovoj formuli c na kvadrat (cca.: 90000000000 km/s)? 

Na kakvim drogama moraš biti da bi dobio inspiraciju na ovu temu?

A mogao bi i nešto otpjevati, a možda i ne bi mogao odgovarati na pitanja, možda ima pametnijeg posla. 

I zamisli, još ga plaćaju da razmišlja o tome :)

Ok, sad kad procitam ponovno svoj post moze se shvatiti kao podcjenjivacki odgovoreno, pa ti se ispricavam, stvarno mi nije bila namjera. Ono sto sam htio reci, ja ti to mogu to objasniti, ali ne bas laicki vec s cvrstim matematickim dokazima, za sto treba imati zaista dobru matematicku podlogu, daleko jacu od srednjoskolske matematike. Pa, krenimo...

Ok, prvo malo pozadine vezano uz teoriju relativnosti. Prva tri Newtonova zakona opisuju dio fizike koji zovemo mehanika. Zakoni mehanike moraju vrijediti uvijek i u svim sustavima koji se jedan u odnosu na drugoga gibaju jednoliko po pravcu, dakle u svim inercijalnim sustavima. Jednostavan primjer bi bio dva auta koja se voze ravno po cesti, jedan brzinom 30 km/h, drugi 50 km/h. Zakoni mehanike moraju vrijediti u oba auta, bez obzira u kojem automobilu, tj. sustavu vrsimo mjerenja. To potvrduju Galilejeve transformacije (da, po Galileu Galileiu se tako zovu). Galilejeve transformacije za dva sustava cije se osi podudaraju, a sustav S' se giba u smjeru osi x su sljedece:

• x = x' + vt ili x' = x - vt
• y = y' ili y' = y
• z = z' ili z' = z
• (t = t') ili (t' = t)

Slika za laksu vizualizaciju dvaju sustava:

Sad dolazimo do jedne druge, meni osobno zanimljivije grane fizike koja opisuje jedan drugi dio fizikalnog svijeta - pojave vezane uz el. naboje, magnetska svojstva prostora i materijala i veza izmedu el. struje i magnetizma. Ta se grana fizike naziva elektromagnetizam. Svakako, ime koje se veze uz elektromagnetizam i EM pojave je J. C. Maxwell koji je na briljantan nacin formulirao teoriju elektromagnetskih pojava u svoje jako poznate cetiri tzv. Maxwellove jednadzbe. To je skup cetiriju diferencijalnih (ili integralnih, ovisi u kakvom ih obliku zapises) jednadzbi koje opisuju cijeli svijet elektromagnetizma, ukljucujuci i svjetlosne pojave. Iz te teorije slijedi da je brzina svjetlosti c koja je izmedu ostalog odredena i eksperimentalno i to relativno davno. No, postavlja se jedno vrlo vazno pitanje: "u odnosu na sto" je brzina svjetlosti jednaka c?

Kad mjerimo brzinu necega, uvijek ju mjerimo u odnosu na nesto, tj. u odnosu na neki sustav. Ako kazemo da se auto giba brzinom od 30 km/h, ocito da tu brzinu mjerimo u odnosu na mirnog promatraca (miran sustav). Ako bi na neki nacin u potpunosti zatamnili unutrasnjost auta i maknuli svu buku motora, osoba u autu ne bi mogla odrediti krece li se auto ili stoji na mjestu (podrazumijevamo da se auto giba jednoliko, a ne da ubrzava). Ako bi osoba rekla da auto stoji ne bi nimalo pogrijesila. Dapace, cak i ako osoba iz auta vidi da se krece, ona moze svoj sustav (dakle auto) proglasiti mirnim sustavom i reci da se kompletna Zemlja giba u suprotnu stranu i ne bi pogrijesila. Slijedeci Galilejeve transformacije sva mjerenja bi bila tocna. No, isto tako ako gledamo na nekog mirnog promatraca na Zemlji iz drugog sustava, npr. s pozicije Sunca mozemo reci da taj mirni promatrac ipak nije toliko mirni jer se giba skupa sa Zemljom oko Sunca. U biti tako mozemo nastaviti u nedogled, sto znaci da ne mozemo govoriti o apsolutnom prostoru. Tako da se opet postavlja pitanje, u odnosu na sto je brzina svjetlosti c?

To pitanje je postalo tim vise vaznije nakon sto je pokazano da Maxwellove jednadzbe nisu invarijantne na Galilejeve transformacije. Npr., uzmimo sferni elektromagnetski val koji se emitira iz ishodista koordinatnog sustava S. Njegova je jednadzba: x² + y² + z² - c²t² = 0 (mozes primjetiti da je tu ustvari jednadzba sfere, logicno jer govorimo o sfernom EM valu). Invarijantnost znaci da bi taj isti val u drugom sustavu S' imao ovakav zapis: x'² + y'² + z'² - c²t'² = 0. No, kad upotrijebimo Galilejeve transformacije dobit cemo: (x' + vt')² + y'² + z'² - c²t^'2 = 0 iz cega je ocito da invarijantnosti nema.

Druga stvar kako mozemo vidjeti da su EM pojave neinvarijantne u odnosu na Galilejeve transformacije je da promatramo dva mirna naboja (vremenski nepromjenjiva) koja se nalaze na nekoj udaljenosti r jedan od drugoga. Medu njima vlada elektrostatska Coulombova sila koja im daje ubrzanje a = F_e/ m (boldano su vektori, te cu vektorske velicine boldati i u daljnjem tekstu). Ako pak te iste naboje gleda promatrac iz sustava S' koji se giba brzinom v u odnosu na mirni sustav S (i u odnosu na naboje) on ce u svojem sustavu vidjeti da se naboji gibaju u suprotnom smjeru brzinom -v (ona prica s autom da covjek u autu moze reci da auto ustvari stoji, a da se Zemlja giba), a gibanje naboja je nista drugo nego struja! Znaci jedan promatrac ce vidjeti struju, a drugi ne! Nadalje, prema Maxwellovim jednadzbama struja proizvodi magnetsko polje pa ce se pojaviti i magnetska sila (magnetski dio opce Lorentzove sile koja je jednaka F_L = F_e + F_m = qE + qv x B - ovdje "x" nije obicno mnozenje vec vektorski umnozak posto radimo s vektorima). To znaci da ce drugi Newtonov zakon u sustavu S' glasiti: a' = (F_e + F_m)/m = a + F_m/m, tj. u S' fizikalna situacija nije jednaka onoj u S! Naravno da nije jednaka posto jedan promatrac mjeri struju i magnetsko polje, drugi ne. Jedno rjesenje je postojanje nekakvog apsolutnog sustava u kojem vrijede Maxwellove jednadzbe. Analogno mehanickim valovima koji trebaju neko sredstvo za sirenje (npr. zvuk u zraku, ali ne i u vakuumu) pretpostavljalo se da je taj apsolutni sustav ispunjen nekakvom tajanstvenom tvari koja omogucava sirenje EM valova. Ta tvar je nazvana eter. Naravno, trebalo je otkriti i pokazati postojanje te tvari. To su pokusali Michelson i Morley svojim slavnim Michelson-Morley eksperimentom (koji se jos naziva najuspjesnijim "propalim" eksperimentom - "propalim" zato sto su njime pokusali dokazati postojanje etera, a ustvari su dokazali obrnuto - njegovo nepostojanje).

Dakle, imamo problem u novonastaloj situaciji, a ista moze naci rjesenje u tri smjera:

1. relativnost na Galilejev nacin vrijedi (samo) za mehaniku, dok za elektromagnetizam postoji poseban referentni sustav u kojem je eter miran i u kojem vrijede Maxwellove jednadzbe
2. Maxwellove jednadzbe su krive i valja naci pravu teoriju za elektromagnetizam koja je invarijantna na Galilejeve transformacije
3. zakone mehanike treba (malo) promijeniti, tj. Maxwellove jednadzbe su tocne, ali Galilejeve transformacije treba zamijeniti nekim drugima u odnosu na koje ce svi zakoni prirode biti invarijantni

Drugo rjesenje ne izgleda razumno, zato sto su Maxwellove jednadzbe davale dobre rezultate koji su bili u skladu s eksperimentima. Trece rjesenje takoder otpada jer je tesko razvaliti zakone mehanike koji su stoljecima davali impresivne rezultate (kao sto rekoh, s njima lansiramo rakete u svemir), a Galilejeve transformacije su u potpunosti u skladu sa svakodnevnim iskustvom. Dakle, prva mogucnost je izgledala najizglednijom. Sada na red dolaze Michelson i Morsley koji su ustvari pokazali i dokazali da eter ne postoji. To znaci da smo sada prisiljeni prikloniti se trecem rjesenju: Galilejeve transformacije se ne mogu primjeniti na EM pojave jer zahtjevaju da se relativne brzine zbrajaju ili oduzimaju (primjer: dva auta, jedan se vozi 30 km/h, a drugi 50 km/h u odnosu na mirnog promatraca, no onaj iz prvog auta ce izmjeriti da se drugi auto vozi 20 km/h u odnosu na njega), ovisno o smjeru gibanja, a (Michelson-Morleyev) eksperiment je pokazao da je brzina svjetlosti konstantna. Prema tome, moramo konstruirati nove transformacije koje ce ostaviti brzinu svjetlosti konstantnom te koje ce ostaviti i Maxwellove jednadzbe nepromjenjive u razlicitim inercijalnim sustavima. To znaci da se u skladu s tim transformacijama moraju reformulirati i Newtonovi zakoni gibanja sto je vrlo velik zahvat koji dira u same osnove klasicne fizike i trebalo je imati cojones i puno fizikalne intuicije da se napravi taj korak prema "novoj fizici" u okviru koje ce gornji zahtjevi biti ispunjeni. Svi znamo tko je napravio taj povijesni korak, naravno to je bio A. Einstein svojim radom "O elektrodinamici tijela u gibanju" kojeg je objavio 1905. u uglednom casopisu Annalen der Physik. Taj rad u sebi krije specijalnu teoriju relativnosti.

Osnova STR su dva postulata koji sami po sebi nisu nikakva novost, ali uzeti zajedno rezultiraju jednom novom fizikom koja predstavlja potpuno drugaciji pogleda na prostor i vrijeme i koja za posljedicu ima cijeli niz novih fenomena koje je trebalo eksperimentalno utvrditi, provjeriti i integrirati u postojece znanje o fizikalnim procesima. Ti postulati glase:

1. svi fizikalni zakoni imaju isti oblik i daju iste fizikalne rezultate u svim koordinatnim sustavima koji se jedan u odnosu na drugoga gibaju jednoliko po pravcu
2. brzina svjetlosti ista je u svim sustavima; ona ne ovisi o brzini izvora ili promatraca i uvijek je jednaka c! (Michelson-Morley eksperiment)

Navodno da je Einstein rekao da prije formuliranja tih postulata nije cuo za M-M eksperiment, pa je onda navodno ipak rekao da je, pa da nije, pa je... U krajnjem slucaju nebitno, cisto onako usputna digresija da razbije monotoniju. :)

Prvi postulat automatski eliminira Galilejeve transformacije jer zahtjeva univerzalnost svih fizikalnih zakona bez obzira na izbor inercijalnog sustava (gore smo vidjeli da G. transformacije to ne ispunjavaju na primjeru dva naboja). Drugi zahtjev je ustvari interpretacija Michelson-Morleyevog eksperimenta iako se kao sto rekoh cini da je Einstein do tog postulata dosao nezavisno od pokusa, a mozda i nije.

Sada odradimo jedan pokus, tzv. misleni pokus (idemo Einsteinovim stopama :D). Imamo vagon koji se po zeljeznim tracnicama giba brzinom v. U sredini vagona sjedi promatrac P' koji opisuje dogadaje u koordinatnom sustavu S'. Vani se nalazi promatrac P (miran promatrac) koji pak mjeri dogadaje u sustavu S (koji je miran u odnosu na S'). U jednom trenutku (kad se polozaji promatraca P i P' na osi x poklope, tj. tocno u trenutku kad promatraci prolaze jedan kraj drugoga) u vrhove vagona na svakoj strani (na pocetku i na kraju vagona) udare dvije munje. Od udara na tracnicama ostanu tragovi u tockama A i B. Istovremeno bljesak munja se siri prostorom i dolazi do promatraca P i promatraca P'. U trenutku kad bljesak dode do promatraca P on oznaci svoj polozaj i od tog polozaja izmjeri udaljenost do tragova na tracnicama koje su ostavile munje. On ustanovi da su udaljenosti od njega do tocke A i od njega do tocke B jednake. Takoder, on zna da je po drugom postulatu brzina svjetlosti u svim sustavima jednaka neovisno o brzini izvora ili promatraca. Stoga on zakljucuje da su munje udarile istovremeno u pocetak i kraj vagona. Promatrac P' koji se giba u vagonu nekom brzinom v primjeti da je do njega prvo dosao bljesak munje iz tocke B', a tek onda bljesak munje iz tocke A', jer se on giba svojom brzinom v koja skrati put svjetlosti od tocke B', a u isto vrijeme produlji put od tocke A'. Zatim on ide mjeriti udaljenost od tocke P' do A' i B' te on takoder izmjeri da su jednake. On takoder zna da vrijedi Einsteinov drugi postulat pa zakljucuje da je munja prvo udarila u kraj vagona (tocku B'), a tek onda u pocetak vagona, tj. tocku A'. To dakle znaci da istovremenost dogadaja u sustavu S nije istovremenost dogadaja u sustavu S' koji se u odnosu na S giba stalnom brzinom v! Ta neistovremenost znaci da promatraci P i P' imaju svaki svoje vrijeme t i t' i to je njihovo "vlastito" vrijeme sto je svakako u suprotnosti s (netocnom) tezom o apsolutnom vremenu koje bi bilo isto i za jednog i za drugog. Nesto vise o ovom mislenom eksperimentu. Naravno, u gornjem eksperimentu vlak bi se trebao gibati velikom brzinom v (usporedivom s brzinom svjetlosti) da bi se mogla mjeriti kasnjenja tih munja u sustavu S'.

Jedan zgodan video koji sam nasao koji vizualno objasnjava ovo sto sam ja pokusao rijecima.

Rezultat ovog eksperimenta namece zahtjev transformacije i vremena t (ne samo polozaja) u novim transformacijama kojima bi se zamijenile Galilejeve transformacije. To znaci da nove transformacije imaju primjenu u sustavima koji se gibaju velikim brzinama, tj. relativistickim brzinama. To znaci da transformacije moraju zadovoljavati sljedece uvjete:

1. moraju prijeci u Galilejeve za brzine koje su puno manje od brzine svjetlosti: v << c
2. moraju biti simetricne ako bi uzeli da je v ustvari -v jer su relativni sustavi ekvivalentni i ne mozemo utvrditi tko se giba, a tko miruje jer je brzina svjetlosti uvijek c
3. moraju biti linearne funkcije koordinata i vremena, tj. x = ax' + bt' jer je prostor izotropan (u svim smjerovima ima ista svojstva) i homogen (sve tocke prostora imaju ista svojstva)
4. moraju imati takvo pravilo slaganja brzina da u svim sustavima brzina svjetlosti uvijek ostane

Pa krenimo. Uzmimo treci uvjet i raspisimo ga:

• x = ax' + bt' = a[x' + (b/a)t'] = a(x' + vt') = γ(x' + vt')

Ovdje sam samo izlucio a i zamijenio ga s grckim simbolom gama (γ), te b/a zamijenio s v. Drugim rijecima, dobili smo uobicajeni zakon transformacije (ovaj u zagradi - pogledati gore Galilejeve transformacije) pomnozen s nepoznatom konstantom a koju smo nazvali γ. Jer eto, fizicari vole stvari nazivati grckim simbolima. :D

Drugi uvjet kaze da transformacije moraju biti simetricne, pa mora vrijediti i:

• x' = γ(x - vt)

Vratimo se sada na sliku dva sustava gore. Zamislimo da su njihova ishodista u istoj tocki, tj. t = t' = 0. Zatim u tom trenutku sustav S' se pokrene brzinom v na desno (u smjeru osi x) i istovremeno se posalje svjetlosni signal duz osi x (i osi x'). Nakon nekog vremena t u sustavu S signal ce proci udaljenost x = ct. U sustavu S' to ce biti x' = ct'. Vidimo dakle da su brzine svjetlosti i u jednom i u drugom sustavu iste sto je u skladu s drugim postulatom. To znaci da gornja pravila transformacija sad daju sljedece:

• x = ct = γ(x' + vt')
• x' = ct' = γ(x - vt)

Iz ovoga vidimo da u prvoj jednadzbi u zagradi mozemo x' zamijeniti s ct' jer je x' = ct', a isto to mozemo napraviti i s x u drugoj jednadzbi jer je x = ct. Pa napravimo to:

• ct = γ(ct' + vt') = γt'(c + v)
• ct' = γ(ct - vt) = γt(c - v)

Ovdje smo t' i t izlucili iz zagrada. Ako sada iz druge jednadzbe izrazimo t':

• t' = (γt/c)(c-v)

te taj t' ubacimo u prvu jednadzbu dobit cemo:

• ct = γ[(γt/c)(c-v)](c + v)

Zatim iz ove jednadzbe izvucemo van gamu (γ), to je kraci racun koji ce nam dati:

• γ = 1/(√1 - v²/c²)

Ovo je inace osnovna algebra i ne bi trebalo biti problema s pracenjem koraka do sad (jedino sto zalim sto nema LaTeX-a na forumu da te jednadzbe lijepo i izgledaju).

Drugim rijecima, kad ovu γ koju smo dobili vratimo u pocetnu formulu dobit cemo gotovu transformaciju koordinata iz sustava S' u sustav S:

• x = γ(x' + vt') = (x' + vt')/(√1 - v²/c²)

Iz ovoga vidimo jednu fascinantnu stvar, transformacija "mijesa" prostorne koordinate i vrijeme! Jos nismo gotovi, preostaje nam odrediti kako se transformira vrijeme. Ako u:

• x' = γ(x - vt)

uvrstimo x koji smo maloprije izracunali dobit cemo:

• x' = γ[γ(x' + vt') - vt] = γ²x' + γ²vt' - γvt

sto ce nakon malo sredivanja i uvrstavanja dati:

• t = γ(t' + vx'/c²) = (t' + vx'/c²)/(√1 - v²/c²)

Ostale se koordinate ne mijenjaju kao i kod Galilejevih transformacija, dakle ostaju nam y = y' i z = z'. Upravo izracunate transformacije nazivaju se Lorentzovim transformacijama.

Sada cemo definirati kvadrat infinitezimalnog pomaka na ovaj nacin:

(ds)² = c²dτ² = c²dt² - dx² - dy² - dz² = c²dt² - (dr)²

Tu imamo par stvari. Prva stvar je, govorimo o infinitezimalno malim velicinama, zato ova slova "d" ispred svakog clana osim naravno brzine c. Dakle, govorimo o diferencijalima. Prostorne koordinate x, y i z zapisali smo u obliku vektora r. Takoder ds smo zapisali preko velicine dτ (grcko slovo tau) cija je dimenzija vrijeme. U svakom slucaju, da sad to ne racunamo, vec je kasno, ovaj izraz je invarijantan s obzirom na Lorentzove transformacije. To znaci da je i (ds)² = c²dτ² invarijantna, pa iz toga slijedi i da je dτ invarijantan (infinitezimalni) vremenski interval. Taj je rezultat vrlo bitan i koristit cemo ga u daljnjem racunu.

Ono sto sada prirodno slijedi su izvodi jednadzbi za zbrajanje brzina, kontrakciju duljine te dilataciju vremena sto necemo raditi, ali ako te zanima slobodno kliknes na linkove. Krenimo mi dalje na relativisticku kinematiku i dinamiku. Dobili smo Lorentzove transformacije koje daju pravila transformiranja prostornih (x, y, z) i vremenskih komponenti (t) nekog dogadaja. Cesto se govori o 3 + 1 dimenzionalnom prostoru, pa stoga mozemo uvesti cetverovektor prostor-vremena gdje taj podatak 3+1 ujedinjujemo u jedinstveni matematicki objekt koji oznacavamo ovako:

• x^µ = (ct, x, y, z) = (x⁰, x¹, x², x³) = (ct, r), gdje je µ = 0, 1, 2, 3

gdje je nulta komponenta x⁰ cetverovektora jednaka vremenskoj koordinati ct (pomnozenoj s c da bi sve imalo istu dimenziju duljine), a komponente 1, 2, 3 prostornim komponentama. Inace, pravila transformacije ovakvog cetverovektora mogu se pisati i u tenzorskoj formi (eh, tenzori su vec jako zafrknuta stvar, dovoljno je reci da su Einsteinu trebali za opis opce teorije relativnosti, a tek su se malo prije njegove teorije pojavili u matematici).

Dakle, zelimo odrediti relativisticku brzinu i kolicinu gibanja. Ako pokusamo brzinu zapisati kao diferencijal puta po vremenu, tj. v_x = dx/dt vidimo da to nece biti bas dobro, jer ce se (dx) transformirati dobro, ali ce se transformirati i (dt), a to nije dobro. Znaci treba nam vremenski interval koji je invarijantan, pa se vracamo na jednadzbu koju smo gore zapisali gdje smo pronasli vremenski invarijantan interval dτ. Ako sad zapisemo brzinu kao v_x = dx/dτ ona ce imati ista transformacijska svojstva kao i dx. Jos odredimo nultu komponentu brzine, od ranije imamo c²dτ² =c²dt² - (dr)², pa kad sve podjelimo s c² dobit cemo:

• dτ² =dt² - (dr)²/c²

Izlucimo dt² i dobijemo:

• dτ² =dt²[1 - (1/c²)(dr/dt)²] = dt²[1 - (v²/c²)]

jer je derivacija puta po vremenu brzina: (dr/dt)² = v². Vidimo da je izraz u zagradi ustvari γ, pa pisemo:

• dτ² = dt²/γ², tj. dτ = dt/γ

Sada mozemo oznaciti komponente vektora brzine s U_x, U_y i U_z te kad maloprije dobiven izraz za dτ upotrijebimo u njima dobit cemo:

• U_x  = dx/dτ = γ(dx/dt) = γv_x = U¹

Analogno i za ostale komponente (za y i z komponentu). Nultu komponentu U⁰ dobit cemo deriviranjem nulte komponente cetverovektora x^µ tj.:

• U⁰ = dx⁰/dτ = γ(d/dt)ct = γc

Sada mozemo definirati cetverovektor brzine kao:

• U^µ = (U⁰, U) = (γc, γv) = γ(c, v)

Iz prostornog dijela cetverovektora brzine mozemo definirati vektor kolicine gibanja p mnozenjem s nepromjenjivom velicinom m, tj. masom:

• p = mU = γmv

Dobili smo relativisticku kolicinu gibanja i ona se transformira kao i koordinate r ili kao U. Ako se sada zapitamo sto je s nultom komponentom p⁰ mozemo vidjeti sljedece. Ona je dakako:

• p⁰ = mU⁰ = γmc

Ako sve pomnozimo i podjelimo sa c, dobit cemo:

• p⁰ = (1/c)γmc²

Ako sad uvedemo oznaku E za γmc² dobivamo:

• p⁰ = (1/c)E

To je bilo sto se tice rel. kolicine gibanja. Idemo vidjeti sto je s radom i energijom. Definirali smo rel. kolicinu gibanja kao: p = γmv. Izvrseni rad W pod djelovanjem neke sile F jednak je:

• W = ∫F ds, gdje je ova "zmijica" integral i to od tocke 1 do tocke 2, sto mi forum ne dozvoljava da napisem jer nema LaTeX-a :((

U jednoj dimenziji to izgleda ovako:

• W = ∫F dx = ∫(dp/dt)dx = ∫(dp/dt)vdt = ∫v dp, opet od tocke 1 do tocke 2

Podintegralni izraz se pomocu diferencijala moze zapisati na sljedeci nacin: d(vp) = p dv + v dp, tj. v dp = d(vp) - p dv. S obzirom da smo promijenili podintegralni izraz ocito moramo promijeniti i granice integrala koje su sada brzina, a ne tocka u prostoru. Uzet cemo da sila pokrece tijelo iz mirovanja, tj. v₁ = 0 do neke brzine v, tj. v₂ = v. Sada mozemo napisati:

• W = ∫d(vp) - ∫p dv = vp| (od 0 do v) - m∫γ(v)v dv = γmv² - m∫(v dv)/(√1 - v²/c²) = γmv² - mc²(√1 - v²/c²)| (od 0 do v) = γmc² - mc² = E_k, gdje ova okomita crta oznacava integrirani izraz od pocetne do konacne vrijednosti, tj. od 0 do v, takoder svi integrali su u granicama od 0 do v

Vidimo da smo dobili poznati izraz! Prema teoremu o radu i kinetickoj energiji, desna strana je jednaka kinetickoj energiji. Takoder vidimo da u izrazu koji smo dobili imamo ukupnu energiju E = γmc² (koju smo dobili gore ako se sjetimo kod nulte komponente kolicine gibanja p⁰) minus energija mirovanja E₀ = mc². Njihova je razlika jednaka kinetickoj energiji pa pisemo:

• E = E₀ + E_k, tj. γmc² = mc² + E_k

Eto, od tuda u Einsteinovoj formuli c na kvadrat.

Da mogu, dao bih ti c² TU-ova. Post godine.

Nisam sve razumio (možda četvrtinu - i to je optimistična procjena ) no i kao laik mogu primijetiti uloženo vrijeme i trud. Ovo si učio na fakultetu ili u svoje slobodno vrijeme, ako se smije znati?

Valjda će kolega Ajar biti zadovoljan objašnjenjem.

Isprike na off-topicu, ali kvragu sve ako ovakav post ne zaslužuje barem eksplicitnu pohvalu umjesto dva mizerna klika po isto toliko nekih tamo gumba.

Na faksu, ali svakako je i slobodno vrijeme zrtvovano, kad se pripremalo za ispite, jel...

Zasto ovo nije na naslovnici pod "znanost"?

da

Tu bi se i ovo moglo pridodati xD

Dakle, još jedna lekcija iz svega ovoga. Ne se zezati s Domagojem :D

Molim da se čovjeku dodjeli peta zvjezdica!

Mislim da je ovo post kojeg je razumjelo najmanje forumaša!

Mislim da miješaš brzinu prenosa informacije u kvantnom preplitanju sa brzinom svjetlosti i Cassimir efektom. Brzina prenosa informacije u kvantnom preplitanju veća je od brzine svjetlosti.