U ovim koronavirusnim vremenima, kada smo višom silom epidemioloških (ne)prilika komunikacijski ograničeni tek na uzak krug ljudi unutar svojih domova i ponekog radnog mjesta, prema ostatku svijeta smo u smislu informacija orijentirani isključivo konzumerski, posredstvom medija koji nam serviraju vijesti, informacije, podatke i brojke, brojke, brojke…   

Većina tih numeričkih podataka kojima smo obasuti orijentirana je na faktografsko nabrajanje onoga što se već dogodilo: koliko je do sada pozitivnih na SARS-CoV-2, koliko oboljelih od COVID-19, koliko pacijenata na respiratorima, koliko oporavljenih…  A svi mi (sami za sebe ili u raspravama po društvenim mrežama) iz tih brojki pokušavamo donositi zaključke neposredno vezane uz ono što nas zaista zanima: kada ćemo moći u birtiju a kada na šišanje, koliko još dana do odlaska na posao, a koliko do godišnjeg odmora na moru…, ukratko - kada će sve ovo završiti?

Formula umjesto podnaslova: s(t) + i (t) + r (t) = 1

Radujte se narodi, jer je Udruga matematičara Amerike (MAA, Mathematical Association of America) izradila statistički model kojim je moguće s prilično velikom pouzdanošću (od 97% do 99%) procijeniti dinamiku epidemioloških događaja tijekom širenja COVID-19 unutar jedne države – od brzine širenja, preko vrhunca broja oboljelih, sve do jenjavanja epidemije i aproksimativnog datuma njezinog završetka.

Model je izrađen za predikciju razvoja COVID-19, kao pomoćni matematički alat za praćenje potvrđenih slučajeva infekcije. Nazvan je SIR, prema tri osnovne ulazne (ovisne) varijable: broju osjetljivih pojedinaca, broju zaraženih i broju oporavljenih (Susceptible, Infected, Recovered). Neovisna varijabla je vrijeme, mjereno u danima. Osnovna dinamika kretanja infekcije aproksimirana je iz podataka o nastanku, širenju i trajanju pandemije hongkonške gripe 1968/69., ponajviše zbog brojnih sličnosti u biologiji uzročnika, načina prenošenja i potencijala zaraznosti između SARS-CoV-2 (uzročnika COVID-19) i H3N2 soja A (uzročnika hongkonške gripe).

U modelu su korištena dva uzajamno povezana skupa ovisnih varijabli. Prvi skup su apsolutne vrijednosti (broj ljudi u svakoj grupi, kao funkcija vremena): S = S(t) je broj osjetljivih, I = I(t) je broj zaraženih, R = R(t) je broj oporavljenih pojedinaca. Drugi skup ovisnih varijabli je udio ukupne populacije u svakoj od tri promatrane kategorije; dakle, ako je ukupna populacija = N, tada imamo s(t) = S(t)/N kao osjetljiv udio populacije, i(t) = I(t)/N je zaraženi udio populacije, te r(t) = R(t)/N kao oporavljeni udio populacije. U svakom trenutku (t), s(t) + i (t) + r (t) = 1.

Formula umjesto podnaslova: d(i) / d(t) = b*s(t)*i(t) - k*i(t)

Dakle, SIR-model svakoga pojedinca smatra a) kandidatom za bolest ili b) aktivno bolesnom, zaraznom osobom, bez obzira na to ima li ili nema vidljive simptome ili c) osobom koja više nije kandidat za obolijevanje, niti je aktivno zarazna (bolesna). Pažljiviji čitatelj će zamijetiti pomalo morbidan detalj: model ne uvažava umrle kao zasebnu skupinu. Sa statističko-infektološke točke gledišta, osoba koja je umrla od infekcije spada u grupu oporavljenih (Recovered), jer više ne može oboljeti niti može proširiti bolest. Jedini način na koji pojedinac napušta 'osjetljivu' skupinu jest zaražavanjem, a jedina dva načina kako prestaje biti 'zaražen' (i zarazan!) je oporavak ili smrt.

U MAA-ovom modelu, vremenska stopa promjene broja osjetljivih S(t) ovisi o: broju pojedinaca koji je trenutno osjetljiv, broju pojedinaca koji su već zaraženi i količini kontakta između osjetljivih i zaraženih (ako pretpostavimo da svaki zaraženi pojedinac ima fiksni broj b kontakata dnevno koji su dovoljni za širenje bolesti). Naravno, nisu svi ti kontakti s osjetljivim pojedincima: ako pretpostavimo homogeno miješanje stanovništva, udio  kontakata koji su osjetljivi je u određenom vremenskoj točki = s(t).

Tako u prosjeku svaki zaraženi pojedinac dnevno stvori određeni broj novih zaraženih jedinki, što je nova vremenski ovisna varijabla b(t), brojka koju se potom matematički korigira faktorom infekcioznosti koronavirusa (ako ste imalo pratili izvješća Stožera i medijske informacije – a znam da jeste – već znate da je to broj R0, koji predstavlja broj osoba koje jedan infektivni pojedinac zarazi u skupini osjetljivih).

Uz logičnu pretpostavku da će se fiksni udio inficirane skupine s vremenom oporaviti (ili umrijeti, ali nećemo sada cjepidlačiti, bitno je da se infekcija ne širi dalje od tog pojedinca), u računu se pojavljuje i varijabla k(t), to jest broj oporavljenih iz inficirane skupine koji se generira u jednom danu. Vrijednosti parametara b i k nije moguće odrediti unaprijed, prije nego što se „s terena“ prikupe i obrade epidemiološka izvješća iz kojih se izračunava broj novozaraženih tijekom vremena – b(t) i broj oporavljenih u tom vremenu – k(t). No, već nakon desetak dana trajanja epidemije na nekom području su te brojke prilično jasne i stabilne, pa ih je moguće uključiti u model i napraviti izračun.

Formula umjesto podnaslova:  i(0) = 1.27 x 10^{- 6}

Matematičko-statističke zaljubljenike i one koji žele znati više upućujemo na stranice Mathematical Association of America na kojima je model detaljno razrađen, a nama koji više volimo da nam se sve nacrta preostaje pogledati grafove krivulje koje je na temeljima MAA-ovog modela izradio SUTD (Singapore University of Technology and Design). Već na prvi pogled, podaci koji svakodnevno pristižu iz epidemioloških službi brojnih država svijeta vrlo se uvjerljivo uklapaju u predikcijske krivulje izrađene SIR-modelom.

A ako im je zaista za vjerovati – kraj je bliže nego što smo se nadali. Prema izračunu kojega su objavili, u Hrvatskoj će 97% epidemije proći do 4. svibnja 2020., statistički vrlo uvjerljivih 99% epidemije će nestati do 15. svibnja 2020., a 100%-tni "oporavak" od COVID-19 možemo očekivati do 19. lipnja 2020.

O drugom valu pandemije, onom posebno teškom i nerijetko smrtonosnijem, kakav se redovito zamjećuje iza virusnih pošasti poput španjolske gripe i sličnih, a kakvoga predviđaju mnogi epidemiolozi i u slučaju COVID-19, za sada nema matematičkih modela. Razlog je jednostavan, a u statističko-matematičkom smislu vrlo složen: do trenutka prognozirane pojave mogućeg drugog vala očekuje se pojava i klinička primjena prvih učinkovitih lijekova i - što je još važnije - cjepiva protiv SARS-CoV-2 virusa. Jer s dovoljnim postotkom procijepljenosti populacije, sve daljnje matematičke priče o širenju infekcije postaju suvišne.

^{Igor „Doc“ Berecki je pedijatar-intenzivist na Odjelu intenzivnog liječenja djece Klinike za pedijatriju KBC Osijek. Od posla se opušta antistresnim aktivnostima: od pisanja svojevremeno popularnih tekstova i ilustracija u tiskanom izdanju časopisa BUG, crtkanja grafika i dizajna, zbrinjavanja pasa i mačaka, te fejsbučkog blogiranja o craft-pivima, životnim neistinama i medicinskim trivijama, sve do pasioniranog kuhanja posve probavljivih jela i sviranja slabo probavljivog bluesa.}